Когда мы говорим о числах, которые кратны 4, мы имеем дело с определенным типом чисел, которые можно представить в виде 4k, где k — целое число. Теперь, если мы возьмем число n, которое кратно 4, то оно может быть представлено как n = 4m, где m — целое число.
Теперь давайте рассмотрим выражение n^2 + 8n. Мы можем заменить n на 4m и получим (4m)^2 + 8*(4m). После выполнения алгебраических операций, мы получим выражение 16m^2 + 32m, которое можно представить как 16(m^2 + 2m).
Таким образом, мы видим, что выражение n^2 + 8n можно представить в виде 16 умножить на целое число (m^2 + 2m), что подтверждает, что данное выражение кратно 16, если число n кратно 4.
Определение числа, кратного 4
Число, которое делится на 4 без остатка, называется кратным 4. То есть, если при делении числа на 4 остаток равен 0, то это число кратно 4.
Докажем утверждение: n^2 + 8n кратно 16 при условии, что n кратно 4
Пусть дано число n, которое кратно 4. Это значит, что n = 4k, где k — целое число.
Теперь выразим n^2 + 8n через n:
- n^2 = (4k)^2 = 16k^2
- 8n = 8 * 4k = 32k
Тогда n^2 + 8n = 16k^2 + 32k = 16(k^2 + 2k).
Мы видим, что n^2 + 8n выражается в виде произведения числа 16 на выражение (k^2 + 2k), где k — целое число. Это значит, что n^2 + 8n также кратно 16.
Таким образом, если число n кратно 4, то n^2 + 8n также кратно 16.
Доказательство кратности числа ( n^2 + 8n ) кратно 16
Для того чтобы доказать, что число ( n^2 + 8n ) кратно 16, воспользуемся методом инверсии.
Предположим, что число ( n^2 + 8n ) не кратно 16.
Это означает, что деление числа ( n^2 + 8n ) на 16 дает остаток, отличный от нуля. То есть ( n^2 + 8n = 16k + r ), где ( k ) — целое число, а ( r ) — остаток при делении на 16.
Рассмотрим выражение ( n^2 + 8n ) как квадратное уравнение: ( n^2 + 8n = n(n + 
).
Так как ( n ) кратно 4, то либо ( n ) кратно 4, либо ( n+8 ) кратно 4 (так как сумма кратных чисел также кратна этому числу).
Если ( n ) кратно 4, то ( n^2 ) также кратно 16, что значит, что ( n^2 + 8n ) кратно 16 (так как сумма кратных чисел остается кратной этому числу).
Если ( n+8 ) кратно 4, то ( n(n+8) ) кратно 16, что также означает, что ( n^2 + 8n ) кратно 16.
Таким образом, мы пришли к противоречию, так как предположили, что ( n^2 + 8n ) не кратно 16. Следовательно, наше предположение неверно, и число ( n^2 + 8n ) действительно кратно 16.
Таким образом, мы доказали, что число ( n^2 + 8n ) кратно 16.
Разложение n^2 + 8n
| Выражение | Разложение |
| n^2 | n * n |
| 8n | 4n + 4n |
Используя разложение выражений, получаем:
n^2 + 8n = n * n + 4n + 4n = n(n + 4) + 4n
Таким образом, мы видим, что выражение n^2 + 8n можно представить в виде суммы двух множителей: n(n + 4) + 4n.
Поскольку n кратно 4, значит n = 4k для некоторого целого числа k.
Подставляя n = 4k в выражение n(n + 4) + 4n, получаем:
4k(4k + 4) + 4 * 4k = 16k(k + 1) + 16k = 16(k^2 + k)
Таким образом, мы доказали, что если n кратно 4, то выражение n^2 + 8n кратно 16.
Факторизация и проверка кратности на 16
Итак, мы рассмотрели доказательство того, что если число n кратно 4, то n^2 + 8n также кратно 16. Воспользуемся этим знанием для факторизации и проверки кратности на 16.
Факторизация выражения n^2 + 8n
Выражение n^2 + 8n можно факторизовать следующим образом: n(n + 8).
- Если n кратно 4, то n = 4k, где k – целое число.
- Тогда n(n + = 4k(4k + = 16k(k + 2).
Таким образом, если n кратно 4, то n^2 + 8n = 16k(k + 2), где k – целое число.
Мы видим, что выражение 16k(k + 2) является кратным числу 16, так как содержит множитель 16.
Итак, мы доказали, что если n кратно 4, то n^2 + 8n кратно 16.